[ Home ] [ Up ] [ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΣΑΦΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ] [ ΣΥΝΘΕΣΗ ΑΣΑΦΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ] [ ΙΔΙΟΣΥΝΟΛΑ ΑΣΑΦΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ] [ ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ] [ ΑΣΑΦΕΙΣ ΑΡΙΘΜΟΙ ] [ ΠΡΟΒΟΛΗ ΑΣΑΦΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ] [ ΑΣΑΦΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ] [ ΑΣΑΦΕΙΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ]

ΑΣΑΦΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ

 Στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της θεωρίας των ασαφών συνόλων, χρησιμοποιήθηκε για την τομή και την ένωση δύο συνόλων οι εκφράσεις:

(A*B)(x)=A(x)B(x)

και

(A+B)(x)=A(x)+B(x)-A(x)B(x)

που είναι δανεισμένες από την θεωρία των πιθανοτήτων και αφορούν την πιθανότητα της ένωσης και της τομής δύο ενδεχομένων. Στη συνέχεια όμως έγινε σαφής διαχωρισμός των ασαφών συνόλων και του χώρου πιθανότητας με αποτέλεσμα πιο γενικές εκφράσεις για την ένωση και την τομή να χρησιμοποιούνται. Οι απαραίτητες προϋποθέσεις για μία έκφραση που χρησιμοποιείται για να υλοποιήσει την τομή ή την ένωση δύο ασαφών συνόλων είναι:

1. Οριακές συνθήκες:

A+X=X , A*X=A
A+0=A , A*0=0

2. Αντιμεταθετικότητα:

A+B=B+A , A*B=B*A

3. Προσεταιριστικότητα:

A*(B*C)=(A*B)*C , A+(B+C)=(A+B)+C

Παρατηρείστε ότι θεωρώντας τη συνάρτηση ομάδας σαν ένα μέτρο αλήθειας μιας πρότασης, όλες οι παραπάνω εκφράσεις έχουν μια λογική βάση. Όσον αφορά τις οριακές συνθήκες, προκύπτει ότι στο όριό τους οι εκφράσεις που υλοποιούνται με ασαφή σύνολα είναι εφαρμόσιμες στη δυαδική λογική. Η προσεταιριστικότητα επίσης δείχνει ότι η αλήθεια μιας πρότασης δεν εξαρτάται από την σειρά των επιμέρους μελών της. Έτσι, η υλοποίηση της συνάρτησης που χρησιμοποιείται για την τομή και την ένωση δύο ασαφών συνόλων αποτελεί μια επιλογή που έχει να κάνει με το σχεδιαστή και εξαρτάται από τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Η πιο συνηθισμένη υλοποίηση γίνεται με τη βοήθεια των s-πράξεων και t-πράξεων. Παρακάτω δίνουμε μερικές εκφράσεις για αυτές τις πράξεις:

s-πράξεις.

t-πράξεις.

Είναι επίσης φανερό από τις παραπάνω εκφράσεις αλλά και από τον ορισμό των s και t πράξεων, ότι για κάθε t πράξη εξάγεται μία s πράξη με τη σχέση:

x s y = 1- (1-x) t (1-y)

που δεν είναι τίποτε άλλο από το θεώρημα De Morgan.
Έχοντας ένα άπειρο αριθμό από δυνατές υλοποιήσεις της τομής και ένωσης δύο ασαφών συνόλων, το ερώτημα που προκύπτει είναι αν υπάρχει κάποιος κανόνας που να δείχνει η βέλτιστη επιλογή μιας συγκεκριμένης υλοποίησης για μια δεδομένη εφαρμογή. Δυστυχώς τέτοιος κανόνας δεν υπάρχει. Όμως υπάρχουν μερικά βασικά σημεία τα οποία αν προσέξει κανείς μπορεί να αποφασίσει με επιτυχία για την επιλογή μιας πράξης. Μερικά από αυτά είναι:

α) Αρχικά πρέπει να σημειώσουμε ότι πράξεις όπως η εύρεση του ελαχίστου ή του μέγιστου συνεπάγονται μια απομόνωση των συνόλων. Έτσι, αν για παράδειγμα για xΞX είναι A(x)>B(x) τότε η πράξη max{A(x),B(x)} αδιαφορεί για τη συγκεκριμένη τιμή του B(x), πράγμα που κάνει μια τέτοια υλοποίηση καλή όταν δεν έχουμε πολλές πληροφορίες για τη συνάρτηση ομάδας.
β) Υλοποιήσεις βασισμένες στη θεωρία πιθανοτήτων είναι καλές επιλογές όταν τα δεδομένα μας έχουν προέλθει από πειράματα τύχης ή όταν έχει βασιστεί ή όλη σχεδίαση σε πιθανοτικούς κανόνες.

γ) Όταν η γνώση μας για το σύστημα που πρόκειται να μοντελοποιήσουμε είναι ανεπαρκής, τότε μια καλή επιλογή είναι "πλατιές" συναρτήσεις που δεν έχουν απότομες μεταβολές.
δ) Μπορούμε να λάβουμε τέλος υπ όψιν μας την αλληλεπίδραση που εισάγει η συγκεκριμένη υλοποίηση. Για το σκοπό αυτό εισάγουμε δύο δείκτες αλληλεπίδρασης:

i(t)=1-3ΣxΣy (x t y)

e(t)=Σc 2(1-c)-L(c)

όπου με το σύμβολο Σ εννοούμε το γενικευμένο άθροισμα που στην περίπτωση συνεχών μεταβλητών είναι ολοκλήρωμα, και με το σύμβολο L(c) εννοούμε το μήκος της καμπύλης c=x t y. Και οι δύο αυτοί δείκτες αυξάνουν με την αύξηση του βαθμού αλληλεπίδρασης που εισάγει η συγκεκριμένη t πράξη.

Ένα άλλο πολύ βασικό θέμα από τη θεωρία συνόλων που πρέπει να επεκτείνουμε για τα ασαφή σύνολα είναι η έννοια του υποσυνόλου. Μια φυσιολογική επέκταση που απαντά με ναι ή όχι στο ερώτημα αν το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β είναι αν για κάθε xΞX ισχύει A(x)ΝB(x). Μια πιο "ασαφής" επέκταση της έννοιας του υποσυνόλου σχετίζει με το παραπάνω ερώτημα ένα νέο ασαφές σύνολο το οποίο θα συμβολίζουμε με ΑΝΒ. Η υλοποίηση της συνάρτησης ομάδας αυτού του συνόλου δίνεται με τη βοήθεια του φ-τελεστή. Στα παρακάτω σχήματα δίνουμε για δύο σύνολα A, B τις υλοποιήσεις της τομής, ένωσης, συμπληρώματος και του συνόλου AΝB με χρήση της min-max συνάρτησης και του γινομένου για τις s και t πράξεις.

Μια άλλη βασική έννοια για ένα ασαφές σύνολο A είναι η α-τομή που συμβολίζεται με Aa. Η α-τομή δίνεται από τη σχέση:

Aa={ xΞX | A(x)£a }

Μια προφανής χρήση της α-τομής είναι η μετατροπή ενός ασαφούς συνόλου σε ένα κανονικό αντιστοιχίζοντας την τιμή ένα σε όσα στοιχεία ανήκουν στην α-τομή και μηδέν στα υπόλοιπα. Επίσης, χρησιμοποιώντας για την υλοποίηση της ένωσης την πράξη sup προκύπτει ότι:

A= +aΞ[0,1] (aAa)

Μερικές άλλες βασικές πράξεις που χρησιμοποιούνται στα ασαφή σύνολα δίνονται παρακάτω:

Δείτε επίσης: