[ Home ] [ Up ] [ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ] [ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ] [ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΙΑ ] [ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ] [ Παράδειγμα 1 ] [ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 ]

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ

Α:X ® [0,1]

όπου ο βαθμός της ομάδας Α(x) εκφράζει την επέκταση με την οποία το x γεμίζει την κατηγορία που περιγράφεται από το Α. Η κατάσταση Α(x)=1 δηλώνει ότι όλα τα στοιχεία που είναι πλήρως συμβατά με το Α. Η κατάσταση Α(x)=0 αναγνωρίζει όλα τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α.

Με το ύψος (height) ενός ασαφούς συνόλου Α, hgt(A), εννοούμε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης ομάδας.

Εάν hgt(A)=1, τότε το Α ονομάζεται κανονικό ασαφές σύνολο, διαφορετικά το ασαφές σύνολο ονομάζεται υποκανονικό. Αυτός ο σύνθετος δείκτης απλά φανερώνει ότι υπάρχουν μερικά στοιχεία του διαστήματος που γίνεται λόγος τα οποία είναι πλήρως συμβατά με το θέμα που χαρακτηρίζεται από το Α.

Με την υποστήριξη του Α, εννοούμε όλα τα στοιχεία του Χ με τιμές της ομάδας Α μη μηδενικές:

Αργότερα θα ορίσουμε με F(X) μια οικογένεια όλων των ασαφών συνόλων που ορίζονται από το X.

Προτού προχωρήσουμε σε περισσότερες έννοιες και την τυπική τεχνολογία των ασαφών ομάδων, αξίζει να συνοψίσουμε μερικά βασικά γεγονότα για την θεωρία συνόλων. Η χαρακτηριστική συνάρτηση ενός συνόλου Α, ορίζεται σαν μια δύ-τιμη απεικόνιση (mapping).

Α:X ® {0,1}

           ì 1 , εάν xÎ Α
Α(x) =í
            î 0 , Διαφορετικά

Α+Β={xÎ X | xÎ Α ή xÎ B}

Α*Β={xÎ X | xÎ Α και xÎ B}

!Α={ xÎ X | xÏ Α}

χ(Α+Β)(x)=max(χΑ(x) , χΒ(x))=χΑ(x) ＾ χΒ(x)

χ(Α*Β)(x)=min(χΑ(x) , χΒ(x))=χΑ(x) ⅴ χΒ(x)

χ!Α(x)=1-χΑ(x)

Αναφερόμαστε σε αυτές σαν πλεγματικές (lattice) λειτουργίες.

Στα ασαφή σύνολα, η σημασία του βασικού κατηγορούμενου της θεωρίας συνόλων "Î " επεκτείνεται σημαντικά δεχόμενοι μερική ομαδοποίηση μέσα στο σύνολο. Η βασική λειτουργία μπορεί να οριστεί όπως πρώτα με το να αντικαταστήσουμε την χαρακτηριστική συνάρτηση με σύνολα ομάδων ασαφούς λογικής. Από αυτό προκύπτουν τα παρακάτω:

(Α+Β)(x)=max(A(x),B(x))

(Α*Β)(x)=min(A(x),B(x))

Οι τύποι του De Morgan, που ισχύουν για την θεωρία συνόλων διατηρούνται επίσης και στα ασαφή σύνολα:

!(Α*Β)=!Α+!Β , !(Α*Β)=!Α+!Β

Α*(Β+C)=(A*B)+(A*C)

(Α*Β)+Α=Α

(Α+Β)*Α=Α

Α+Α=Α

Α*Α=Α

Όμως οι νόμοι του αποκλεισμού (exclusion) δεν ικανοποιούνται, δηλ.:

Α+!Α¹ Χ

Α*!Α¹ Æ

το οποίο μπορεί να αναμένεται, μιας και τα ασαφή σύνολα δεν επιβάλλουν διχοτόμηση που αποτελεί μια βασική ιδιότητα της θεωρίας συνόλων. Αυτές οι δύο σχέσεις εκφράζουν την λεγόμενη υποκάλυψη(underlap) και επικάλυψη (overlap) που παρουσιάζεται μεταξύ ενός ασαφούς συνόλου και στο συμπλήρωμά του. Παρουσιάζουν πόσο καλά το ασαφές σύνολο Α και το συμπληρωματικό του !Α "καλύπτουν" την οικουμενικότητα του πεδίου (Α+!Α) ή πως διαμελίζονται (Α*!Α). Το μέγιστο ξεκίνημα από τον δυϊσμό φαίνεται για Α(x)=1/2. Τότε ομοίως η ένωση και η τομή παράγουν το ίδιο αποτέλεσμα:

min(1/2,1/2)=max(1/2,1/2)=1/2

Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει ένας διαχωρισμός μεταξύ του ασαφούς συνόλου Α και του συμπληρωματικού του.

Τα ασαφή σύνολα που ορίζονται σε μια περιορισμένη οικουμενικότητα του πεδίου Χ μπορούν να αντιπροσωπευτούν σαν λίστες από οδηγίες κατασκευής σχετικά με τους βαθμούς των ομάδων σε συγκεκριμένα σημεία του Χ. Για παράδειγμα, μια λίστα που αποτελείται από μια υπολίστα δύο στοιχείων:

[ [x1,1.0] , [x2,0.8] , [x3,0.5] , [x4,0.0] ]

Α(x1)=1.0 , A(x2)=0.8 , A(x3)=0.5 , A(x4)=0.0

ΑΝD(a,b):-min(a,b)

όπου τα "a" και "b" είναι δύο βαθμοί της ομάδας.

- σημειακός στόχος, ο οποίος απλοποιείται σε ένα μοναδικό στοιχείο σύνολο, όπου η χαρακτηριστική συνάρτηση εκτός από ένα σημείο είναι μηδέν σε ολόκληρη την οικουμενικότητα των θερμοκρασιών

                                                     ì 1, εάν x=20
χευχάριστη θερμοκρασία(x)= í
                                                     î 0, εάν x¹ 20

- μέσο-διαστημική τιμή του στόχου,

                                                     ì 1, εάν xÎ [19,21]
χευχάριστη θερμοκρασία(x)= í
                                                     î 0, εάν xÏ [19,21]

- ο στόχος ορίζεται σαν ασαφές σύνολο, ορίζοντας μια βαθμιαία μεταβολή γύρω από τα προηγούμενα σημειακά σύνορα,

                                                      ì f1(x) , εάν x £ 19
ευχάριστη θερμοκρασία(x) = í 1 , εάν xÎ [19,21]
                                                      î f2(x) , εάν x£ 21

όπου τα f1 και f2 ορίζουν μια ομαλή συνάρτηση του x, όπου η f1 ορίζεται για όλα τα x<19 είναι μια αυξανόμενη συνάρτηση με συνθήκη ορίου f1(19)=1.0 . Η δεύτερη συνάρτηση f2 παρουσιάζει μια μειούμενη αποδοχή των υψηλών θερμοκρασιών σαν συμβατές με τον όρο ευχάριστη θερμοκρασία. Έτσι λοιπόν, η f2 γίνεται μια μειούμενη συνάρτηση με f2(21)=1.0.

Αλλάζοντας την σύνθεση των συναρτήσεων f1 και f2, μπορούμε εύκολα να μοντελοποιήσουμε τον δρόμο με τον οποίο οι έννοια ευχάριστη θερμοκρασία διακρίνεται και μπορεί να χειριστεί αριθμητικά.

Δύο σημαντικές τάξεις των συναρτησιακών ομάδων ονομαζόμενες S και Π συναρτήσεις είναι χρήσιμες στην περιγραφή μεταβολών σε βαθμούς των ομάδων. Η συνάρτηση S περιλαμβάνει τρεις παραμέτρους και ορίζεται σε διαστήματα ως ακολούθως:

                      ì 0 , εάν x <α
                   ê 2[(x-α)/(γ-α)]² , εάν α £ x £ β
S(x,α,β,γ)= í 1-2[(x-γ)/(!γ-α)]² , εάν β £ x£ γ
                  î 1 , εάν x>γ

Η συνάρτηση Π είναι φτιαγμένη πάνω στην προηγούμενη συρνατησιακή ομάδα,

                   ì S(x,γ-β,γ-β/2,γ) , εάν x£ γ
Π(x,β,γ) =í
                   î 1-S(x,γ,γ+β/2,γ+β) , εάν x>γ

Η παράμετρος β δηλώνει το εύρος (απόσταση μεταξύ σημείων διασταύρωσης και συνάρτηση ομάδος Π). Στο x=γ, η συνάρτηση ομάδος έχει την τιμή 1.0.

Δείτε επίσης:

Γεωμετρική ερμηνεία ασαφών συνόλων...