ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z
Ο μετασχηματισμός z είναι το εργαλείο με το οποίο λύνουμε τις γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές, όπως ο μετασχηματισμός Laplace μας βοηθάει να λύσουμε τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.
Τα σήματα που συνήθως παίρνουμε είναι υπό αναλογική μορφή, δηλ. υπό συνεχή μορφή (π.χ. τηλεόραση, ραδιοφωνία, καρδιογραφήματα, εγκεφαλογραφήματα, σήματα από σεισμική δόνηση, κ.τ.λ.). Τα σήματα αυτά μπορούμε να τα μετατρέψουμε σε μια ακολουθία αριθμών. Κάθε αριθμός παριστάνει την ανάγνωση ή το πλάτος του σήματος σε ορισμένη χρονική στιγμή. Τα σημεία του χρόνου διαλέγονται ισαπέχοντα.
Η μέθοδος της μετατροπής ενός συνεχούς σήματος σε μια ακολουθία αριθμών σε ίσα χρονικά διαστήματα, ονομάζεται κβαντοποίηση ή ψηφιοποίηση. Το σχήμα δείχνει ένα σήμα που ψηφιοποιήθηκε. Η ψηφιοποίηση έγινε και κατά τον κατακόρυφο άξονα, που είναι το πλάτος του σήματος και κατά το χρόνο. Η ψηφιοποίηση ως πλάτος γίνεται με αναλογικoψηφιακό μετατροπέα, ενώ ως προς το χρόνο γίνεται με δειγματολήπτη.
Όταν η είσοδος του δειγματολήπτη είναι συνεχής συνάρτηση x(t), η έξοδος του δειγματολήπτη θα είναι μια σειρά μοναδιαίων παλμών διαμορφωμένων κατά πλάτος που σχετίζονται με το x(t), ως εξής:
xs(t) = x(t) xD(t)
όπου η xD(t) ονομάζεται συνάρτηση Dirac ή συνάρτηση χτένας. Η συνάρτηση αυτή δίνεται από τη σχέση:
xD=Σδ(t-nT)
n=-
όπου δ((t-nT) παριστάνει το μοναδιαίο παλμό, μοναδιαίου εμβαδού που εμφανίζεται στο χρόνο t=nT. Από τις δύο προηγούμενες εξισώσεις, έχουμε:
xs = x(t)Σδ(t-nT)
n=-
xs = Σx(nT)δ(t-nT)
n=-
xs = Σxnδ(t-nT)
n=-
Αν υποθέσουμε ότι η x(t) είναι μηδέν για t<0, έχουμε:
xs = Σxnδ(t-nT)
n=0
Η εξίσωση αυτή περιγράφει τη λειτουργία ενός ιδανικού δειγματολήπτη στο επίπεδο του χρόνου. Για να μελετήσουμε τη συμπεριφορά του δειγματολήπτη στο επίπεδο της συχνότητας, θα πρέπει να βρούμε το μετασχηματισμό Laplace της xs(t).
Ο μετασχηματισμός Laplace της προηγούμενης εξίσωσης είναι:
xs = Σxn e^(-snT)
n=0
εφόσον ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Dirac δ(t-nT) είναι e^(-snT). Πολλαπλασιασμός λοιπόν επί e^(-sT) ισοδυναμεί με καθυστέρηση σταθερού χρόνου T sec. Η προηγούμενη εξίσωση είναι μη αλγεβρική, αφού περιέχει τον όρο e(-sT). Όταν έχουμε μη αλγεβρικές εξισώσεις είναι δύσκολο να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace. Για να αντιμετωπίσουμε τη δυσκολία αυτή εισάγουμε μια νέα μεταβλητή, δηλ. θέτουμε:
z = e^(sT) ή s=lnz/T
όπου Τ είναι η περίοδος δειγματοληψίας και z είναι μια μιγαδική μεταβλητή που ορίζεται στο μιγαδικό z-επίπεδο. Η μεταβλητή z ονομάζεται
τελεστής μετασχηματισμού z. Από τις προηγούμενες εξισώσεις έχουμε:
Xs(s=lnz/T)=X(z)=Σxnz^(-n)
Η εξίσωση αυτή είναι ο ορισμός του μετασχηματισμού z. Συνεπώς,
όπου :
σημαίνει ο μετασχηματισμός z της x(t).
Ένα από τα μειονεκτήματα του μετασχηματισμού z είναι ότι δίνει πληροφορία για τη συνεχή συνάρτηση χρόνου μόνο κατά τις χρονικές στιγμές των δειγματοληψιών, δηλ. η Χ(z) ορίζει μόνο τη xS(t). Αν η συχνότητα δειγματοληψίας είναι υψηλή, τουλάχιστον διπλάσια της υψηλότερης συχνότητας του σήματος (θεώρημα της δειγματοληψίας του Nyquist), το συνεχές σήμα αποκαλύπτεται χωρίς παραμόρφωση από τον ιδανικό δειγματολήπτη, εφόσον είναι περιορισμένης ζώνης. Δηλ. ο μετασχηματισμός z, Χ(z), μεταφέρει όλες τις πληροφορίες που έχει ο μετασχηματισμός Laplace. Αν, όμως, δε γνωρίζουμε τίποτα από τα χαρακτηριστικά της x(t), ο αντίστροφος μετασχηματισμός δεν είναι ιδανικός. Σ΄ αυτή την περίπτωση η διακεκριμένη συνάρτηση του χρόνου xS(t), που λαμβάνουμε από τη Χ(z), παριστάνει οποιαδήποτε συνάρτηση x(t) η οποία έχει την ίδια τιμή της xS(t) στους χρόνους της δειγματοληψίας.
Στο σχήμα φαίνονται δύο τελείως διαφορετικές συναρτήσεις χρόνου με τον ίδιο μετασχηματισμό z. Ο μόνος τρόπος να ξεχωρίσουμε τις δύο αυτές συναρτήσεις, από τη σκοπιά του μετασχηματισμού z, είναι να προσδιορίσουμε τις κυματομορφές των σημάτων μεταξύ των δειγματοληψιών. Για το σκοπό αυτό έχουν αναπτυχθεί αρκετές μέθοδοι. Οι πιο διαδεδομένες είναι η μέθοδος των υποπολλαπλασίων δειγματοληψιών και ο τροποποιημένος μετασχηματισμός z.
Δείτε επίσης:
